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2の補数（にのほすう）は、2、ないし2のべき乗の補数、またそれによる負の値の表現法である。特に二進法で使われる。（数学的あるいは理論的には、三進法における減基数による補数、すなわち 3ⁿ − 1 ＝ 2222..2222₍₃₎ による補数も「2の補数」であるが、まず使われることはない）

コンピュータの固定長整数型や、固定小数点数で、負の値を表現するためや加算器で減算をするために使われる。

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頭の部分の1個以上の0を含む（正規化されていない）ある桁数の二進法で表現された数があるとき、その最上位ビット (MSB) よりひとつ上のビットが1で、残りが全て0であるような値（8ビットの整数であれば、1000000002=256{displaystyle 100000000_{2}=256}）から、元の数を引いた数が2の補数である。MSBの重みが1であるような固定小数点表現の場合は特に「2」の補数となる。

2の補数表現からの変換[編集]

2 の補数は、2 進数表現で正と負の数を符号化する。各ビットの重みは２の累乗であるが、最上位ビットを除き、その重みは対応する２の累乗の負の値である。

N-ビットの整数 aN−1aN−2…a0{displaystyle a_{N-1}a_{N-2}dots a_{0}} の値 w は、次式で与えられる。

w=−aN−12N−1+∑i=0N−2ai2i{displaystyle w=-a_{N-1}2^{N-1}+sum _{i=0}^{N-2}a_{i}2^{i}}

最上位ビットは数値の符号を決定し、符号ビットと呼ばれることもある。符号と大きさの表現とは異なり、符号ビットは上記のように重み −(2^N − 1) を持つ。N ビットを使うと、−(2^N − 1) から 2^N − 1 − 1 までのすべての整数を表現することができる。

例[編集]

−36（十進法）が、8ビットで、2の補数でどのように表されるかを例として示す。

二進法8ビットで、36は 00100100 である。

したがって、2の補数による−36の表現は 11011100 (220₍₁₀₎)である。

元の数 (00100100) と求められた (11011100) の2つの数を足し合わせると、すべての桁が 0 になり、負数が求められていることがわかる（最上位桁からの桁上がりの 1 は無視する）。

別の求め方[編集]

「1の補数に1を加える」という方法もある。算術的に考えると、（たとえばこの例の場合）「256 − 36」という計算を「(255 − 36) + 1」に分解している。

まず

次に1を加えると、

得られた値は、上記の値と同じことが分かる。

2の補数をよく見てみると、1が出てくる最下桁までは元の数とビットが同じで、それよりも上の桁はビットが反転していることが分かる。そこで、計算の工程数をより削った方法として、1が出てくる最下桁までをそのままにして、それより上の桁のビットを反転させるという方法が考えられる。

1の補数[編集]

二進法における、減基数すなわち 2ⁿ − 1 による補数を1の補数と言う。1の補数は、全ての桁が1である値から、元の値を引けば求まるが、各ビットの1を0に、0を1に、と反転させても求められる。

負の数の値[編集]

2の補数で表現された負の数の値を考えるには、二進法の各桁の重みについて、最上位ビット (MSB) のみ符号が反転したものとして計算すれば良い。 Cleaner app pro 8 0 2048 free download.

たとえば 1101₂ は、符号無しの二進法であれば、23+22+20=8+4+1=13{displaystyle 2^{3}+2^{2}+2^{0}=8+4+1=13} であるが、2の補数表現による負の数であるとした場合は、−23+22+20=−8+4+1=−3{displaystyle color {red}-2^{3}color {black}+2^{2}+2^{0}=color {red}-8color {black}+4+1=-3} である。

別の求め方[編集]

「1の補数に1を加える」という方法もある。算術的に考えると、（たとえばこの例の場合）「256 − 36」という計算を「(255 − 36) + 1」に分解している。

まず

次に1を加えると、

得られた値は、上記の値と同じことが分かる。

2の補数をよく見てみると、1が出てくる最下桁までは元の数とビットが同じで、それよりも上の桁はビットが反転していることが分かる。そこで、計算の工程数をより削った方法として、1が出てくる最下桁までをそのままにして、それより上の桁のビットを反転させるという方法が考えられる。

1の補数[編集]

二進法における、減基数すなわち 2ⁿ − 1 による補数を1の補数と言う。1の補数は、全ての桁が1である値から、元の値を引けば求まるが、各ビットの1を0に、0を1に、と反転させても求められる。

負の数の値[編集]

2の補数で表現された負の数の値を考えるには、二進法の各桁の重みについて、最上位ビット (MSB) のみ符号が反転したものとして計算すれば良い。 Cleaner app pro 8 0 2048 free download.

たとえば 1101₂ は、符号無しの二進法であれば、23+22+20=8+4+1=13{displaystyle 2^{3}+2^{2}+2^{0}=8+4+1=13} であるが、2の補数表現による負の数であるとした場合は、−23+22+20=−8+4+1=−3{displaystyle color {red}-2^{3}color {black}+2^{2}+2^{0}=color {red}-8color {black}+4+1=-3} である。

1111 1111 1111 0001₂ のような、上位側に1が並んだ数の場合も同様にして求めてもよいが、正の数の時に、上位側の0を無視するように、1が連続する間は無視し、最後の1の重みを負として、そこから下位の桁について同様に計算してもよい。 Photo mechanic 5 0 – quality digital camera image browser.

1111 1111 1111 0001₂ の場合、−16 +1で、−15である。

十進法との対応[編集]

4桁の二進法(4ビット)で表現する場合

関連項目[編集]

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